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中考必备:三角形的五个“心”及少少平面几何

日期:2019-10-17 00:12 来源: 数学五个心

  

中考必备:三角形的五个“心”及少少平面几何

中考必备:三角形的五个“心”及少少平面几何

中考必备:三角形的五个“心”及少少平面几何

中考必备:三角形的五个“心”及少少平面几何

  A 三角形的五个“心” 一、重心: (又叫中心) 1.重心:三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心。 2. 重心定理: (1)一个三角形三条边上的中线必交一点; 证明: 找 AB 中点 F, AC 中点 E, 连接这两条中线交于点 O, 连接 AO 并延长, B F O E C D 交 BC 于点 D,可得 S 三角形 ABE=S 三角形 ACF=1/2×S 三角形 ABC(同底同高) ,得 S 三角形 ,得 S 三角形 AOB=S 三角形 AOC(都为上面两三角形面积的两倍) ,得 B 到 BOF=S 三角形 COE(两三角形同减 S 四边形 AEOF) AD 和 C 到 AD 的距离 h 相等(面积相等,底相等) ,所以 S 三角形 BOD=S 三角形 COD(同底 OD,等高 h) ,所以 BD=CD (面积相等,高相等) ,即 D 为 BC 中点,所以三角形三条中线)三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 证明:方法一 A △ABC,AB、BC、CA 中点分别为 D、E、F,交于一点 G。 ∴DF//BC,DF=BC/2 ①(中位线定理) 。 ∴△ADF∽△ABC, E 为 BC 中点, ∴H 为 DF 中点 (可证 AH/AE=DH/BE=HF /EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2, 又可由①知 HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。 ∴BG=(2/3)BF 方法二: (简单) 如图: △ABC 的中线 AD、 BE 交于 G (G 为重心) , 求证: AG=2GD 证明:取 C0 的中点 H,取 BO 中点 G,连接 GH 则 GH=1/2BC 且 GH//BC [中位线定理] 又 E 是 AB 的中点,D 是 AC 中点 则 ED=1/2BC 且 ED//BC [中位线定理] 则 GH=ED 且 GH//ED 则角 EDO=角 OGH 又角 DOE=GOH 且 ED=HG 所以△DEO 全等于△GHO 所以 DO=GO --- DO=GO=BG ---BO:OD=2∶1 ---AG=2GD H G F D C B E 二、内心: 1.定义:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心。 (即内切圆圆心) 诠释: (1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形 叫做圆的外切三角形。 (2)一个三角形有且只有一个内切圆。 2.内心定理: (1)三角形三个内角的平分线)内心到三条边的距离都相等; 证明:设∠A 平分线与∠B 平分线交于 O 点,则 O 点到 AB,AC 的距离相等;O 点到 BC,BA 距离相等,所以 O 点到 AC,BC 距离相等,所以点 O 在∠C 的角平分线上,所以三角形三条角平分线)内切圆的半径公式: r =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] / s= S 三角形 ABC /s ,s 为三 角形周长一半 [ s=1/2*(a+b+c)]。 证明:设 S=1/2*(a+b+c),内切圆半径为 r, a、b、C 分别角 A、B、C 的对边。 连结 AO、BO、CO 形成了三个三角形,S 三角形 ABC= S 三角形 ABO + S 三角形 BCO + S 三 角形 ACO = 1/2*(a+b+c)* r = s*r 据海伦公式:S 三角形 ABC=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以 r=S 三角形 ABC /s 1 三、垂心: 1.定义:三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 3.垂心定理:三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 证明: 连接 DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在 AB 同旁, ∴A、B、D、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE (同弧上的圆 周角相等) ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =Rt∠ ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB 。这说明了,经过 O 点的 CF 就是 AB 边的高。∴三角形的三条边的垂线交于一点. 四、外心: 1.定义:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 2.外心定理: (1)三角形三垂直平分线)三角形的垂心到三角形各顶点的距离相等。 (3)三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的 外心。设三角形 ABC 的外心为 O,垂心为 H,从 O 向 BC 边引垂 线,设垂足为 L,则 AH=2OL. 证明:如图,O 为外心,P 为垂心。 延长 AO 交圆儿于 F,延长 AP 交圆于 Q。 AF 为直径 AO 为半径,2 OE=BF。 由于 OE 与 CP 都垂直于 AB, (且角 C 为 AB 弧度圆周角,角 AOE 为 AB 弧度圆心角的一半,相等)△ AEO 相似于△ ACR(垂足忘标 了) ,角 BAF 等于角 CAQ. 在圆周上,BF=CQ。 由于 AF 为直径,角 B+角 BCQ=90°,由于 CP 为垂足,角 B+角 2 也等于 90°。 (角 1 标错了) 叫 BCQ=角 2。CB 为 QP 的垂直平分线,CP=CQ。 所以 CP=BF,CP=2 OE。结论达成。 五、旁心: 1.旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做 三角形的旁心。 一个三角形有三个旁心。 2.旁心定理: (1)三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线)当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。 2 一些平面几何的著名定理 1.勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2.射影定理(欧几里得定理) 3.三角形的三条中线交于一点,并且,各中线.四边形两边中心的连线与两条对角线.间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6.三角形各边的垂直平分线.三角形的三条高线.设三角形 ABC 的外心为 O,垂心为 H,从 O 向 BC 边引垂线,设垂足为 L,则 AH=2OL 9.三角形的外心,垂心,重心在同一条直线. (九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与 各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上, 11.欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线.库立奇*大上定理: (圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点 圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13. (内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s 为三角形周长的一 半 14. (旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线.中线定理: (巴布斯定理)设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P,则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16.斯图尔特定理:P 将三角形 ABC 的边 BC 内分成 m:n,则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17.波罗摩及多定理:圆内接四边形 ABCD 的对角线互相垂直时,连接 AB 中点 M 和对角线交点 E 的直线、阿波罗尼斯定理:到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n(值不为 1)的点 P,位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上 19.托勒密定理:设四边形 ABCD 内接于圆,则有 AB×CD+AD×BC=AC×BD 20.以任意三角形 ABC 的边 BC、CA、AB 为底边,分别向外作底角都是 30 度的等腰△BDC、△CEA、△AFB, 则△DEF 是正三角形, 21.爱尔可斯定理 1:若△ABC 和△DEF 都是正三角形,则由线段 AD、BE、CF 的中心构成的三角形也是正三 角形。 22.爱尔可斯定理 2:若△ABC、△DEF、△GHI 都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI 的重心构 成的三角形是正三角形。 23.梅涅劳斯定理:设△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别 为 P、Q、R 则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 24.梅涅劳斯定理的逆定理: (略) 25.梅涅劳斯定理的应用定理 1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边 CA 于 Q、∠C 的平分线交边 AB 于 R, 、 ∠B 的平分线交边 CA 于 Q,则 P、Q、R 三点共线.梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、 AB 的延长线交于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线.塞瓦定理:设△ABC 的三个顶点 A、B、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条 直线,分别与边 BC、CA、AB 或它们的延长线交于点 P、Q、R,则 BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28.塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E,又设 BE 和 CD 交于 S,则 AS 一定过边 BC 的中心 M 29.塞瓦定理的逆定理: (略) 30.塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线.塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设 △ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T,则 AR、BS、CT 交于一点。 32. 西摩松定理: 从△ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、 CA、 AB 或其延长线作垂线, 设其垂足分别是 D、 E、R,则 D、E、R 共线, (这条直线.西摩松定理的逆定理: (略) 34.史坦纳定理:设△ABC 的垂心为 H,其外接圆的任意点 P,这时关于△ABC 的点 P 的西摩松线通过线.史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点 P 关于△ABC 的镜象线.波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R,则 P、Q、R 关于△ABC 交于一点的充要条 件是:弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2∏). 37.波朗杰、腾下定理推论 1:设 P、Q、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若 P、Q、R 关于△ABC 的西摩松线 交于一点,则 A、B、C 三点关于△PQR 的的西摩松线.波朗杰、腾下定理推论 2:在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作 的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线.波朗杰、腾下定理推论 3:考查△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于△ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于 这条西摩松线该外接圆珠笔的弦,则三点 P、Q、R 的关于△ABC 的西摩松线.波朗杰、腾下定理推论 4:从△ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线,设垂足分别是 D、E、F,且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、N,则 D、鐗╀笟鍚?鐧惧害璐村惂--瀵板畤鐗╀笟浜轰簰浜ゅ弸娴佺殑,E、F、L、M、N 六点在同一个圆上,这时 L、M、N 点关于关于 △ABC 的西摩松线.关于西摩松线:△ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在 九点圆上。 42.关于西摩松线(安宁定理) :在一个圆周上有 4 点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关 于该三角形的西摩松线,这些西摩松线.卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点 P,引与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、 PE、PF,与三边的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线.奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是 L、 M、N,在△ABC 的外接圆取一点 P,则 PL、PM、PN 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、 E、F,则 D、E、F 三点共线.清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分 别是 U、V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点 共线.他拿定理:设 P、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分 别是 U、V、W,这时,如果 QU、QV、QW 与边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别为 ED、E、F,则 D、E、F 三点共线。 (反点:P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线=OQ×OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 47.朗古来定理:在同一圆同上有 A1B1C1D14 点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于 这 4 个三角形的西摩松线 条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线.九点圆定理:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点] 九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆。 49.一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-1 个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线:一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点,则 M 和 N 点关于四个三角形△BCD、△ CDA、 △DAB、 △ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。 这条直线叫做 M、 N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点,则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的 康托尔线、L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点。 这个点叫做 M、N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点。 53、康托尔定理 4:一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点,则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、 4 E 的康托尔线、费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 55、莫利定理:将三角形的三个内角三等分, 靠近某边的两条三分角线相得到一个交点, 则这样的三个交点可以构成一个正三角形。 这个三角形常被称作莫 利正三角形。 56、牛顿定理 1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三条共线。这条直 线叫做这个四边形的牛顿线:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连 线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F) 的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线、布利安松定理:连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F,则这三线、 巴斯加定理: 圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、 BC 和 EF、 CD 和 FA 的 (或延长线.秦九韶——海伦公式:已知三角形三边:a,b,c 计算三角形面积 S S 为根号下:p(p-a)(p-b)(p-c) p 为该三角形周长的一半 63.帕斯卡定理:内接于一个非退化二阶曲线的简单六边形的三对对边的交点共线,这条直线 中考必备:三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理_数学_初中教育_教育专区。A 三角形的五个“心” 一、重心: (又叫中心) 1.重心:三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心。 2. 重心定理: (1)一个三角形三条边上的中线必交一点; 证明: 找 AB 中点 F,

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