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本质外心重心垂心界说及本质总结

日期:2019-10-26 08:31 来源:

  

本质外心重心垂心界说及本质总结

本质外心重心垂心界说及本质总结

本质外心重心垂心界说及本质总结

  内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的 圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r ③s= (r 是内切圆半径) ④在 Rt△ABC 中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2. ⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 +∠C/2 ∠AOC = 90 +∠B/2 2、外心 (1)定义:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形 外接圆的圆心) 。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点, 该点即为三角形外接圆的 圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯 一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直 角三角形的外心与斜边的中点重合 ④OA=OB=OC=R ⑤∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA ⑥S△ABC=abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐 标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标: (X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 ⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用 H 表 示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它 旁心三角形的垂心 ③垂心 O 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上 ④△ABC 中,榫欒豹娴锋櫙婀剧墿涓氬浣曟牱榫欒豹娴锋櫙婀剧墿涓氳垂! 有六组四点共圆, 有三组(每组四个)相似的直角三角形, 且 AO·OD=BO·OE=CO·OF ⑤H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称 这样的四点为一—垂心组)。 ⑥△ABC,△ABO,△BCO,△ACO 的外接圆是等圆。 ⑦在非直角三角形中,过 O 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q, 则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC ⑧三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 ⑨设 O, H 分别为△ABC 的外心和垂心, 则∠BAO=∠HAC, ∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA。 ⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半 径之和的 2 倍。 11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角 形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 内心、外心、重心、垂心定义及性质总结_数学_高中教育_教育专区。内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

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