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三角形五心定律

日期:2019-10-26 08:31 来源:

  

三角形五心定律

  

三角形五心定律

  

三角形五心定律

  

三角形五心定律

  △ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R,则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

  已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE相交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB

  三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了,

  三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源;

  3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。

  三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理外心定理垂心定理内心定理旁心定理的总称

  2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

  附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。

  三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)

  2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。

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  1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

  点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”,如此定义理当然.

  2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))(除正三角形)

  3、P为ΔABC所在空间中任意一点,点0是ΔABC内心的充要条件是:向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

  5、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr.

  4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为

  4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

  如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。

  三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。

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